半径为R，r[R>r]的两个同心圆，P是小圆周上的一个固定点，B是大圆周上一动点，直线BP与大圆周相交于另外一点C，过P且与BP垂直的直线与小圆周交于另一点A。求证: BC^2+CA^2+AB^2为定值。

半径为R，r[R>r]的两个同心圆，P是小圆周上的一个固定点，B是大圆周上一动点，直线BP与大圆周相交于另外一点C，过P且与BP垂直的直线与小圆周交于另一点A。求证: BC^2+CA^2+AB^2为定值。

证明 设直线BC与小圆周相交于另外一点为D，B与P同侧，C与D同侧。同心圆心为O，连OA，OD，OC，作OH⊥BC交BC于H，设OH=x，则PA=2x。
由勾股定理可得:
HP=DH=√(r^2-x^2); HB=CH=√(R^2-x^2); BC=2√(R^2-x^2).
PC=√(R^2-x^2)+√(r^2-x^2);
PB=√(R^2-x^2)-√(r^2-x^2);
所以 PB^2+PC^2=2R^2+2r^2-4x^2;
BC=4R^2-4x^2. (1)
CA^2+AB^2=(4x^2+PC^2)+(4x^2+PB^2)=2R^2+2r^2+4x^2. (2)
故 BC^2+CA^2+AB^2=6R^2+2r^2为定值。