问题: 数学问题,麻烦
已知 f(x)=(a2^x-1)/(2^x+1)(a∈R)是R上的奇函数.(1)求a的值,(2)求f(x)的值域
解答:
解:(1)∵f(x)是R上的奇函数 ∴f(0)=(a-1)/2=0 ∴a=1
[评:f(x)是R上的奇函数时,f(0)=0这是一个重要性质]
还可以利用奇函数的定义来求,即f(-x)=-f(x),[a2^(-x)-1]/[2^(-x)+1]=-(a2^x-1)/(2^x+1)
(2)由(1)得a=1,所以 f(x)=(2^x-1)/(2^x+1)=1-2/(2^x+1)
∵2^x>0 ∴2^x+1>1 0<2/(2^x+1)<2
-1<f(x)<1
[评:以上方法是求值域常用方法--分离常数法]
或利用下面的反解法:
由f(x)=(2^x-1)/(2^x+1)变形的2^x=[1+f(x)]/[1-f(x)]
∵2^x>0 ∴[1+f(x)]/[1-f(x)]>0 解不等式得-1<f(x)<1
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