问题: 数学
f(x)在[a,b]上有连续的二阶倒数,且f'(a)=f'(b)=0,证:在(a,b)内存在一点&使f(x)的定积分(上下限为a,b)=(b-a){f(a)+f(b)}/2+(b-a)三次方f"(&)/6
解答:
f(x)=f(a）+f'(a）(x-a)+f''(c)(x-a）^2/2
=f(a）+f''(c)(x-a）)^2/2
f(x)=f(b）+f''(d)(x-b）^2/2
2f(x)=f(a）+f(b）+f''(c)(x-a）)^2/2 +f''(d)(x-b）^2/2
两边积分除以2即可
f(x)的定积分(上下限为a,b)
=(b-a){f(a)+f(b)}/2+(b-a)三次方[f''(c)+f''(d)]/12
若c=d，取&=c=d即可
若c不等于d，哪么在c，d之间f(x)在[a,b]上有连续的二阶倒数，所以存在一点&的二阶导数值=[f''(c)+f''(d)]/2代入即可
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