问题: 求教 ????//?
函数f(x)在[a,b]上二可导,且f''(x)<0 证:函数f(x)的定积分(上下限分别为b,a)小于等于(b-a)f(a+b/2)
这题可以不用泰勒公式算出来吗?可以的话请赐教
解答:
1.
f''(x)<0<==>f(x)为凸函数
<==>任意x,y,[f(x)+f(y)]/2≤f((x+y)/2)
2.
∫{a→b}f(x)dx=(u=a+b-x)
=∫{a→b}f(a+b-u)du=
=∫{a→b}f(a+b-x)dx
==>
∫{a→b}f(x)dx=
=∫{a→b}[f(x)+f(a+b-x)]dx/2≤
≤∫{a→b}f((x+a+b-x)/2)dx=
=(b-a)f((a+b)/2).
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