问题: 数学问题
设平面直角坐标系xoy中,设f(x)=x^2+2x+b(x∈R)(b 为常数)的图象与两坐标有三个交点,经过着三个交点的圆记为C.求:
A求实数b的取值范围
B求圆C的方程
C问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论.
解答:
解：
由题意，图象与两坐标有三个交点，得
图像开口向上
f(0)<0,如果 ，(f(0)>0的话，不可能 构成圆）
得b〈0
设图像过(x1,0)(x2,0) (0,b)三点
x1+x2=-2，x1*x2=b
可以设圆的方程为
x^2+y^+2x+Ey+F=0
x1^2+2x1+F=0......1
x2^2+2x2+F=0......2
1+2,得
x1^2+x^2+2(x1+x2)+2F=0
(x1+x2)^2-2x1*x2+2(x1+x2)+2F
4-2b-2(-2)+2F=0
F=b
圆的方程为x^2+y^+2x+Ey+b=0
将（0，b）代入
b^2+Eb+b=0 得 E=-(b+1)
圆的方程x^2+y^+2x-(b+1)y+b=0
当y=1时，x^2+1+2x-(b+1)+b=0
x^2+2x=0
x=0或x=-2
（0，1）（-2，1）为所求的特定的点
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