问题: 求助不等式证明
求助不等式证明
求证 1/√2+1/√3+…+1/√121<8√6.
解答:
求证 1/√2+1/√3+…+1/√121<8√6.
证明 下面给出更一般的结论。即n为自然数。则有
1/√2+1/√3+…+1/√n<√(4n+2)-√2。 (1)
设k为自然数，则有
2√k>√(k+1/2)+√(k-1/2) (2)
[事实上 (2)<==> 4k>2k+2√(k^2-1/4) <==> k>√(k^2-1/4) 为显然。]
由(2)式得:
1/√k<2/[√(k+1/2)+√(k-1/2)]=2[√k+1/2)-√(k-1/2)] (3)
在(3)式中，取k=1,2,3,4, …,n. 求和即得(1)式.
故在(3)式中取k=2,3,4, …,121，化简即得:
1/√2+1/√3+…+1/√121<8√6. 得证.
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