问题: 不等式证明求助
求证 8√7<1/√2+1/√3+…+1/√141.
解答:
求证 8√7<1/√2+1/√3+…+1/√141.
证明 下面给出更一般结论。即n为自然数。则有
√(4n+3)-√7<1/√2+1/√3+…+1/√n (1)
设k为自然数，易证得到
4√k<√(4k+3)+√(4k-1) (2)
(2)<==> 1/√k>4/[√(4k+3)+√(4k-1)]=√(4k+3)-√(4k-1) (3)
在(3)式中，取k=2,3,4, …,n. 求和即得(1)式.
故在(3)式中取k=2,3,4, …,141，注意4*141+3=81*7，化简即得:
1/√2+1/√3+…+1/√141>8√7. 得证.
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