4.
(1) A的特征值2，1，0全为单特征值，因此A可对角化。所以有可逆矩阵P，使得 A=PDPA^(-1)，这儿D为对角矩阵D=diag(2,1,0).
所以B=2A^3-5A^2+3I=P(2D^3-5D^2+3)P^(-1)。对角矩阵
2D^3-5D^2+3=diag(-1,0,3).所以B的特征值为-1，0，3。

(2) |A|=|P|*|D|*|P^(-1)|=|D|=2*1*0=0

5. |λI-A|=0--->(λ-1)(λ+1)(λ-2)=0--->A有三个单特征值
λ=1，-1，2。因此A可对角化。
λ=1，求特征向量
(I-A)x=0--->4x1-2x2+3x3=0, -2x1+x3=0--->x1=(x3)/2,x2=(5x3)/2,所以对应于特征值λ=1的特征向量为p1=(1，5，2)^t。
同样可以求出对应于λ=-1，2的特征向量为p2,(0,1,0)^t, p3=(0,1,1)^t.
这些向量对应与不同特征值，所以当然是线性无关的。把这三个线性无关向量合一起组成一个可逆矩阵P=(p1,p2,p3).
用拼凑法(即[P I]初等行变换得到[I P^(-1))或者伴随矩阵方法得到P的逆矩阵P^(-1)=((1，0，0)；(-3，1，-1)；(-2。0。-1)) (注：这儿写矩阵不方便，所以上面写法表示(第一行；第二行；第三行))。 那么
A=PDP^(-1), 这儿D是相应的对角矩阵D=diag(1,-1,0).
所以A^(10)=(PDP^(-1))^10=PD^10P^(-1)=P*diag(1,1,1024)*P^(-1)=((1，0，0)；(-2046，1，1023)；(-2046，0，1024))。

6. 特征多项式
|λI-A| (按第三项展开)
=[(1)(-3)-(-2)(λ+3)]*1+(λ+2)*[(λ-2)(λ+3)-(1)(-5)]
=λ^3+3λ^2+3λ+1=(λ+1)^3
特征向量为λ1=λ2=λ3=-1(三重特征值)。
(λ1I-A)x=0--->-3x1+x2-2x3=0;-5x1+2x2-3x3=0;x1+x3=0.
x1=-x3,x2=-x3.
所以特征向量为 (k,k,-k)^t.