设x,y,z为不全为零的实数，求证
(2yz+2zx+xy)/(x^2+y^2+z^2)≤(√33+1)/4

设x,y,z为不全为零的实数，求证
(2yz+2zx+xy)/(x^2+y^2+z^2)≤(√33+1)/4 (1)
下面给出两种简证
(一),我们只需考虑x,y,z为非负情况。
设t>0，据A-G不等式得:
x^2/2+y^2/2+t*y^2+z^2/t+z^2/t+t*x^2≥2yz+2zx+xy
<==> (t+1/2)*x^2+(t+1/2)*y^2+2z^2/t≥2yz+2zx+xy. (2)
因为 t+1/2=2/t <==> 2t^2+t-4=0，解得:t=(√33-1)/4.
即为 (√33+1)/4*(x^2+y^2+z^2)≥2yz+2zx+xy.

(二),下面用三元两次半定性条件来证明
对于x,y,z为不全为零的实数，求证:
x^2+y^2+z^2≥t(2yz+2zx+xy) (3)
欲使式成立，只需使下面两式成立。
1-t^2≥0
4-4t^3-9t^2=0
4t^3+9t^2-4=0,<==>(t+2)*(4t^2+t-2)=0.
解得符合条件的t=(√33-1)/8，(√33-1)/8<1.
故x^2+y^2+z^2≥[(√33-1)/8](2yz+2zx+xy)
即 (2yz+2zx+xy)/(x^2+y^2+z^2)≤(√33+1)/4.