问题: 求证
设数列xn满足X(1)=3/16,X(n)=3/8+1/2X^2(n-1),其中n>=2 求证，对n属于N+,都有0<x(n)<1/2
括号中的为下标
解答:
证明: X(n)=(3/8)+(1/2)X²(n-1),X(n)-(1/2)=(1/2)[X(n-1)+(１/2)][X(n-1)-(1/2)]，显然X(n)>0.下面用数学归纳法证明对n∈N+,X(n)<1/2,即证明n∈N+时,X(n)-1/2<0.
(i) n=1时,X(2)-(1/2)=(1/2)×(11/16)×(-5/16)<0
(ii) 假设n=k时, X(k)-(1/2)<0,则当n=k+1时,
X(k+1)-(1/2)=)=(1/2)[X(k)+(１/2)][X(k)-(1/2)]，
∵ X(k)+(１/2)>0, X(k)-(１/2)<0, ∴ X(k+1)-(１/2)<0,即
X(k+1)<1/2, ∴ n∈N+时,X(n)<1/2.
综上所述,n∈N+时,0<X(n)<1/2
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