不等式问题
求证:(1/2)*(3/4)*(5/6)*…*(89/90)*(91/92)<1/12.

不等式问题
求证:(1/2)*(3/4)*(5/6)*…*(89/90)*(91/92)<1/12.
证明 设n是自然数，则有
(1/2)*(3/4)*(5/6)*…*[(2n-1)/(2n)]<3/[2√(7n+2)] (1)
当n=46，即√(7*46+2)=√324=18，所以
(1/2)*(3/4)*(5/6)*…*(89/90)*(91/92)<1/12.
下面运用数学归纳法来证明不等式(1).
简证如下: 先证一个引理:设k为自然数，k>1，则
{3/[2*√(7k+2)]}*[(2k+1)/(2k+2)]<3/[2*√(7k+9)] (2)
k-1>0 <==> (7k+2)*(4k+3)-7(2k+1)^2>0
<==> 4(k+1)^2*(7k+2)-(2k+1)^2*(7k+9)>0
==> 2(k+1)*√(7k+2)]>(2k+1)^2*√(7k+9)]
==> 3/[2*√(7k+9)]>3(2k+1)/[4*(k+1)*√(7k+2)].
==> {3/[2*√(7k+2)]}*[(2k+1)/(2k+2)]<3/[2*√(7k+9)]

下证(1)式
当n=1,n=2时，(1)式等号成立;
假设 n=k时,(1)式成立，(k>2)，
记T=(1/2)*(3/4)*(5/6)*…*[(2k-1)/(2k)];
即有 T<3/[2*√(7k+2)] (3)
我们来证当n=k+1时，(1)式也成立.
根据假设(3)及引理(2)得:
3/[2*√(7k+9)]>{3/[2*√(7k+2)]}*[(2k+1)/(2k+2)]>T*[(2k+1)/(2k+2)]=(1/2)*(3/4)*(5/6)*…*[(2k+1)/(2k+2)]
故当k>2时,(1)式成立。