在△ABC中,求证:sin^2A+sin^2B+sin^2C≤9/4

在△ABC中,求证:sin^2A+sin^2B+sin^2C≤9/4 (1)
关于不等式有许多证法。设△ABC的三边为a,b,c，R为外接圆半径。则所证不等式等价于下列两式.
9R^2≥a^2+b^2+c^2 (2)
cosA*cosB*cosC≤1/8 (3)
下面给出一种证法.
设O,H分别是△ABC的外心与垂心，在△AHO中，∠HAO=︱B-C︱，OA=R,AH=2RcosA，由余弦定理得:
OH^2=AH^2+AO^2-2AH*AO*cos︱B-C︱
=4R^2*(cosA)^2+R^2-4R^2*cosA*cos(B-C)
=R^2*[1+4(cosA)^2-4*cosA*cos(B-C)]
=R^2*{1-4cosA*[cos(B+C)+cos(B-C)]}
=R^2*[1-8cosA*cosB*cosC]
因为OH≥0，所以1-8cosA*cosB*cosC≥0。

另证
OH^2=AH^2+AO^2-2AH*AO*cos︱B-C︱
=4R^2*(cosA)^2+R^2-4R^2*cosA*cos(B-C)
=R^2*[1+4(cosA)^2-4*cosA*cos(B-C)]
=R^2*{5-4(sinA)^2+4cos(B+C)*cos(B-C)]
=R^2*[5-4(sinA)^2+2cos(2B)+2cos(2C)]
=R^2*[9-4(sinA)^2-4(sinB)^2-4(sinC)^2]≥0
故得: sin^2A+sin^2B+sin^2C≤9/4