几何问题
在ΔABC中，∠BAC=90°，M是BC边上一动点，过M做BC的垂线交直线AB于D，交直线CA于E，
(1),当点M在什么位置时，AM^2≥MD*ME。
(2)当点M在什么位置时，AM^2≤MD*ME。

在ΔABC中，∠BAC=90°，M是BC边上一动点，过M做BC的垂线交直线AB于D，交直线CA于E，
(1)，当点M在什么位置时，AM^2≥MD*ME。
(2)，当点M在什么位置时，AM^2≤MD*ME。

证明 设过M直线DE⊥BC，交CA于E，交AB的延长线于D，不妨设CA>AB。
令BC=a, CA=b, AB=c，BM=x，则 CM=a-x，a^2=b^2+c^2。
易证RtΔBMD∽RtΔEMC，故得: BM/DM=EM/CM,
<==> BM*CM=EM*DM。 (1)
在RtΔABC中，据斯特瓦尔特(Stewart) 定理得:
BC*AM^2=BM*CA^2+CM*AB^2-BC*BM*CM
<==> AM^2=[xb^2+(a-x)c^2]/a-x(a-x) 。 (2)
所以 AM^2≥MD*ME，等价于
[xb^2+(a-x)c^2]/a-x(a-x)≥x(a-x)
<==> xb^2+(a-x)c^2≥2ax(a-x)
<==> 2ax^2-(2a^2+c^2-b^2)x+ac^2≥0
<==> 2ax^2-(a^2+2c^2)x+ac^2≥0
<==> (2x-a)*(ax-c^2)≥0 (3)
因为b>c, <==> a/2>c^2/a，解不等式(3)得:
当x≥a/2或x≤c^2/a，即在RtΔABC斜边BC的高与中线之间以外，有AM^2≥MD*ME。

备注:如果b<c，即x≤a/2，或x≥c^2/a，结论是一样的.

同样方法可证得: 当a/2≥x≥c^2/a，AM^2≤MD*ME。

下面给出一样解析法。
证明 设以AC所在直线为X轴，AB所在直线为Y轴，建立直角坐标系。令B(0,c), C(b,0) ，
则直线BC方程为:cx+by=bc。 (1)
易证RtΔBMD∽RtΔEMC，得: BM/DM=EM/CM, <==> BM*CM=EM*DM。
设M点横坐标为t [t<b] ，则由方程(1)得:M点纵坐标为c(b-t)/b。
由两点距离公式可得:
AM^2=[t^2*(b^2+c^2)-2bc^2*t+b^2*c^2]/b^2;
BM^2=t^2*(b^2+c^2)/b^2;
CM^2=(b-t)^2*( b^2+c^2)/b^2。
记a^2=b^2+c^2，故AM^2≥MD*ME等价于
t^2*(b^2+c^2)-2bc^2*t+b^2*c^2≥(b^2+c^2)* (b-t) t
<==> 2 a^2*t^2-b(a^2+2c^2)t+b^2*c^2≥0
<==> (a^2*t-bc^2)*(2t-b)≥0
假设b>c，则解得:t≥b/2, 或t≤bc^2/a^2，易验证得在RtΔABC斜边BC的高与中线之间以外有AM^2≥MD*ME.
同样方法可证得: 当b/2≥x≥bc^2/a^2，易验证得在RtΔABC斜边BC的高与中线之间有AM^2≤MD*ME。