问题: 高一数学
已知正实数x1,x2及函数f(x)满足：
4^x = (1+f(x)) / 1-f(x) 且f(x1)+f(x2)=1 求f(x1+x2)的最小值
需要具体过程和答案
解答:
4^x=(1+f(x))/(1-f(x)),
f(x)=(4^x-1)/(4^x+1),
设a=4^(x1),b=4^(x2),
f(x1+x2)=(ab-1)/(ab+1)=1-2/(ab+1)
所以要求上式的最小值，也就是要求ab的最小值。
但
f(x1)+f(x2)=1
--->(a-1)/(a+1)+(b-1)/(b+1)=(2ab-2)/[(a+1)(b+1)]=1
--->2ab-2=ab+a+b+1--->ab-3=a+b>=2*√(ab)
设u=√(ab), u^2-2u-3>=0, (u-3)(u+1)>=0,因为u+1>0--->u>=3
所以最小的ab=u^2=9,这个时候a=b=3，
因此当x1=x2=log_4 3时，f(x1+x2)有最小值为4/5.
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