题目:设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，且f(a)=f(b)≥0,又有f(c)<0(a<c<b)。试证(a,b)内至少存在两点ξ1、ξ2使f"(ξ1)>0,f"(ξ2)>0.
小弟先谢过！

f(x)在[a,b]连续，所以f(x)在[a,b]上一定有最小值。但f(a)>=0,f(b)>=0, f(c)<0,所以最小值一定在(a,b)内某点d取到。那么f'(d)=0，f(d)<0.

由微分中值定理，存在p1:a<p1<d,使得
f'(p1)=[f(a)-f(d)]/[a-d]<0
同样存在p2: d<p2<b,使得
f'(p2)=[f(b)-f(d]/[b-d]>0.
那么在[p1,d]对f'(x)用微分中值定理，存在ξ1在(p1,d)内，使得
f''(ξ1)=[f'(d)-f'(p1)]/[d-p1]>0
同样存在ξ2在(d,p2)内，使得
f''(ξ2)=[f'(d)-f'(p2)]/[d-p2]>0
证毕。

如果学过了泰勒公式，证明起来就非常容易。
f(x)=f(d)+f''(q)x^2/2,这里q在x与d之间。
把x=a,x=b代入，即可证明。