问题: 数列
在边长为a的正三角形A1B1C1内切且互切的三个等圆,连接这三个圆的圆心,得到一个正三角形A2B2C2,在正三角形A2B2C2内再作内切圆且互切的三个等圆,连接这三个等圆的圆心,又得到一个正三角形,如此继续下去,得到一个正三角形序列{三角形ABC},求所有这写正三角形的面积和S
解答:
各三角形的边长为一个等比数列
设a0=a
则(√3/2)*a1+a1+(√3/2)*a1=a0
所以切第一次得到的三角形边长为a1=(√3-1)a/2
。
。
。
切第n次得到的三角形边长为an={(√3-1)/2}^n*a
所以
面积S=a0+a1+a2+……+a(n-1)+a(n)
=a+(√3-1)a/2+……+{(√3-1)/2}^n*a
=(3+√3){1-((√3-1)/2)^n}*a/3
(此处^n表示什么什么的n次方 因为打不出来所以这样写)
希望对你有帮助哈~
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