竞赛题
设平面上有九条直线，其中每一条直线都把已知正方形ABCD分成两个四边形，它们的面积比2:3，求证这九条直线至少有三条共点。

设平面上有九条直线，其中每一条直线都把已知正方形ABCD分成两个四边形，它们的面积比2:3，求证这九条直线至少有三条共点。
证明 首先注意一条直线L把正方形分成两个四边形，则L不可能与正方形的邻边相交，否则L将正方形分成一个三角形与一个五边形。
设L与正方形ABCD的对边AB，CD分别相交于M，N，这时所分得的两块是直角梯形AMND和直角梯形BMNC，用S1及S2分别表示它们的面积。
设EF是正方形ABCD中与AB平行的中位线，交BC于E, 交DA于F，L与EF相交于P。由于上述两个直角梯形等高，所以有 S1:S2=FP:PE。这样，P点的位置有两种可能:
若S1:S2=2:3，则FP:PE=2:3;
若S2:S1=2:3，则PE:FP=2:3.
也就是说, 若P，Q是在EF上把EF分成长为2:3的两条线段的两个分点，则L必过P点与Q点。
但正方形还有另一条中位线，其上也有类似于P，Q的两点P1与Q1。
综上所述，题设的九条直线中的每条必过P，Q，P1，Q1这四点中的某一点，由抽屉原则知，这九条直线中至少有三条过同一点。