问题: 竞赛题
竞赛题
设平面上有九条直线,其中每一条直线都把已知正方形ABCD分成两个四边形,它们的面积比2:3,求证这九条直线至少有三条共点。
解答:
设平面上有九条直线,其中每一条直线都把已知正方形ABCD分成两个四边形,它们的面积比2:3,求证这九条直线至少有三条共点。
证明 首先注意一条直线L把正方形分成两个四边形,则L不可能与正方形的邻边相交,否则L将正方形分成一个三角形与一个五边形。
设L与正方形ABCD的对边AB,CD分别相交于M,N,这时所分得的两块是直角梯形AMND和直角梯形BMNC,用S1及S2分别表示它们的面积。
设EF是正方形ABCD中与AB平行的中位线,交BC于E, 交DA于F,L与EF相交于P。由于上述两个直角梯形等高,所以有 S1:S2=FP:PE。这样,P点的位置有两种可能:
若S1:S2=2:3,则FP:PE=2:3;
若S2:S1=2:3,则PE:FP=2:3.
也就是说, 若P,Q是在EF上把EF分成长为2:3的两条线段的两个分点,则L必过P点与Q点。
但正方形还有另一条中位线,其上也有类似于P,Q的两点P1与Q1。
综上所述,题设的九条直线中的每条必过P,Q,P1,Q1这四点中的某一点,由抽屉原则知,这九条直线中至少有三条过同一点。
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