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问题: 高二数学

1.在平面直角坐标系xOy中,直线L与抛物线y平方=2x交于A,B两点,<1>求证:“如果L过点T(3,0),那么向量OA*向量OB=3”是真命题
<2>写出<1>中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,说明理由?(只要做第二小题)
2.已知双曲线C:x平方/2-y平方=1,点D,E,M的坐标分别为(-2,-1),(2,-1),(0,1),P为双曲线C上在第一象限的点,记L为经过原点与点P的直线,s为△DEM截直线L所得线段的长,试将s表示为直线L的斜率K的函数。
3.在以O为原点的直角坐标系中,点A(4,3)为△OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于零,是否存在实数A,使抛物线y=ax平方-1上总有关于直线OB对称的两点,若存在求A的范围,不存在说明理由?

解答:

1.在平面直角坐标系xOy中,直线L与抛物线y²=2x交于A,B两点,<1>求证:“如果L过点T(3,0),那么向量OA•OB=3”是真命题
<2>写出<1>中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,说明理由?(只要做第二小题)

逆命题:如果向积OA•OB=3,则L必过定点T(3,0)

逆命题为假,具体如下:
∵L交抛物线于A、B两点,∴L的斜率不为0
设L的斜率为1/k,交x轴于(t,0)--->L方程:x=ky+t
与抛物线方程联立:y²=2(ky+t)--->y²-2ky-2t=0
--->yA+yB=2k, yAyB=-2t
OA•OB = xAxB+yAyB = (kyA+t)(kyB+t)+yAyB
   = (1+k²)yAyB + kt(yA+yB) + t²
   = -2t(1+k²) + 2k²t + t²
   = t²-2t = 3
--->(t+1)(t-3)²=0--->t=3或t=-1
即 L可以不过T(3,0),而过T'(-1,0),所以,逆命题为假。

2.已知双曲线C:x²/2-y²=1,点D,E,M的坐标分别为(-2,-1),(2,-1),(0,1),P为双曲线C上在第一象限的点,记L为经过原点与点P的直线,s为△DEM截直线L所得线段的长,试将s表示为直线L的斜率k的函数

3.在以O为原点的直角坐标系中,点A(4,3)为△OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于零,是否存在实数A,使抛物线y=ax²-1上总有关于直线OB对称的两点,若存在求A的范围,不存在说明理由?