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问题: 代数证明题

代数证明题
设x,y,z是三个互不相等的正整数,求证: 在x^3*y-x*y^3, y^3*z-y*z^3, z^3*x-z*x^3三个数中,至少有一个数能被10整除。

解答:

命题:设x,y,z是三个互不相等的正整数,求证: 在x^3*y-x*y^3, y^3*z-y*z^3, z^3*x-z*x^3三个数中,至少有一个数能被10整除。

证明:
x^3y-xy^3=xy(x+y)(x-y)
y^3z-z^3y=yz(y-z)(y+z)
z^3x-x^3z=xz(z-x)(z+x)
先证明上面三个数全是偶数。对xy(x+y),如果x,y中有一个是偶数,那么xy(x+y)(x-y)自然是偶数,否则,x,y都为奇数,那么x+y为偶数,所以xy(x+y)(x-y)为偶数。同样另外两个也为偶数。
所以要证明上面三个数之一为10的倍数,只需要证明其中之一是5的倍数即可。

如果x,y,z的中有一个是5的倍数,比如说x, 那么xy(x+y)(x-y)就是10的倍数。
如果x,y,z都不是5的倍数,但如果x,y,z中有两个数除5的余数相同,比如说x,y。那么x-y就是5的倍数。所以xy(x+y)*(x-y)就是10的倍数。
如果x,y,z除5的余数全不等,都不为0,那么只可能是1,2,3,4四个数字中的3个,根据抽屉原理,必有两个是在{1,4},{2,3}组里,即必有两个数,它们的和为5的倍数,比如x,y,那么x+y为5的倍数,因此xy(x+y)(x-y)为10的倍数。
证毕。