代数证明题
设x,y,z是三个互不相等的正整数，求证: 在x^3*y-x*y^3, y^3*z-y*z^3, z^3*x-z*x^3三个数中，至少有一个数能被10整除。

命题：设x,y,z是三个互不相等的正整数，求证: 在x^3*y-x*y^3, y^3*z-y*z^3, z^3*x-z*x^3三个数中，至少有一个数能被10整除。

证明：
x^3y-xy^3=xy(x+y)(x-y)
y^3z-z^3y=yz(y-z)(y+z)
z^3x-x^3z=xz(z-x)(z+x)
先证明上面三个数全是偶数。对xy(x+y),如果x,y中有一个是偶数，那么xy(x+y)(x-y)自然是偶数，否则，x,y都为奇数，那么x+y为偶数，所以xy(x+y)(x-y)为偶数。同样另外两个也为偶数。
所以要证明上面三个数之一为10的倍数，只需要证明其中之一是5的倍数即可。

如果x,y,z的中有一个是5的倍数，比如说x, 那么xy(x+y)(x-y)就是10的倍数。
如果x,y,z都不是5的倍数，但如果x,y,z中有两个数除5的余数相同，比如说x,y。那么x-y就是5的倍数。所以xy(x+y)*(x-y)就是10的倍数。
如果x,y,z除5的余数全不等，都不为0，那么只可能是1，2，3，4四个数字中的3个，根据抽屉原理，必有两个是在{1，4}，{2，3}组里，即必有两个数，它们的和为5的倍数，比如x,y,那么x+y为5的倍数，因此xy(x+y)(x-y)为10的倍数。
证毕。