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问题: 函数的最大值的应用题?

1。形状是长方形套上一个半圆,整个窗户的周长为l,当圆半径r是多少时,通过窗户透进房间的光线最多?
2一周长为16cm的长方形绕其中一边旋转一周形成一个圆柱当长方形的长,宽各是多少时圆柱的体积最大?
(需要解题过程)

解答:

1.如图1
设窗户下方的长方形高为a,则:
窗户的周长=2a+2*2r+πr=2a+(π+4)r=l
所以,a=[l-(π+4)r]/2
所以,窗户的面积=(πr^/2)+2ra=(πr^/2)+[l-(π+4)r]*r
=(πr^/2)+lr-(π+4)r^
=-[(π/2)+4]r^+lr
它是一个关于r的二次函数(其中a<0),所以,当r=-b/(2a)时,函数有最大值。所以:
r=l/(π+8)

2.如图2
设长方形的两边分别为a、b,则:
a+b=8………………………………………………(1)
而旋转之后,圆柱体的体积:
V=πa^b……………………………………………(2)
由(1)知道:a+b=8
===> a+(b/2)+(b/2)=8
而,a+(b/2)+(b/2)≥3*√[a*(b/2)*(b/2)]=3*√[ab^/4](三次根号下)
===> [ab^/4]≤(8/3)^3
===> ab^≤2048/27
当且仅当a=b/2时取等号,此时:(b/2)+b=8
===> b=16/3,a=8/3
这个时候圆柱体体积有最大值Vmax=2048π/27