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问题: 高中立体几何-正方体

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过它的任意两条棱作平面,则能作得与A1B成30度角的平面有几个?为什么?
请讲得详细些,谢谢!

解答:

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,只有过它的两条相交的或者平行的棱才能作平面。两条相交的棱做的平面是正方体6个面中的一个,当然与A1B的夹角不可能为30度。两条平行的棱作的平面,一部分是正方体6个面中的,另外一部分够成一个对角。总共有6个这样的平面:
ABC1D1,BCD1A1,CDA1B1,DAB1C1,AA1C1C,BB1D1D。在这6个平面中,A1B在BBCD1A1中,A1B与DAB1C1垂直。另外4个平面都与A1B成30度夹角。

我们只要说明A1B与ABC1D1成30度夹角,与其他三个平面,根据对称性,也就30度夹角了。
过A1作A1E垂直AD1,交AD1于E。A1BE即为A1B与平面ABC1D1所夹的角。A1D=A1D/2=A1B/2,因此在直角三角形A1BE中,角A1BE所对的边为斜边A1B的一半,因此角A1BE为30度。

结论:能作4个与A1B成30度角的平面。