P是平行四边形ABCD内部任一点，P到平行四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的距离分别为PE，PF，PG，PH，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H。
求证:PA+PB+PC+PD>√2(PE+PF+PG+PH).

P是平行四边形ABCD内部任一点，P到平行四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的距离分别为PE，PF，PG，PH，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H。
求证:PA+PB+PC+PD>√2(PE+PF+PG+PH).
证明 根据已知定理:对于任意凸n边形内部任一点P到各顶点距离的和不小于该点到各边距离和的1/cos(π/n)倍. 上述命题仅为特殊的。
一般证明如下:
证明 过D分别作DM⊥BC，DN⊥AB，M，N为 垂足，则
PE+PF+PG+PH=DM+DN (1)
连AC，BD，据平行四边形性质得:
AC^2+BD^2=2(CD^2+AD^2)≥2(DM^2+DN^2) (2)
备注1:此时(2)式取等号为矩形了。
因为 BD*AC≥2S(ABCD)=2CD*DN≥2DM*DN，所以得:
BD*AC≥2DM*DN (3)
备注2:此时(3)式取等号为正方形了。
在平行四边形ABCD中，由(2),(3)式得:
(BD+AC)^2>2(DM+DN)^2
所以 BD+AC>(DM+DN)√2 .
又因为 PA+PC≥AC，PB+PD≥BD 。
所以 PA+PC+PB+PD>√2(DM+DN)=√2(PE+PF+PG+PH)。证毕。
备注3: 取到等号，则平行四边形为正方形，且P在其中心上。