已知x，y，z是锐角，且(cosx)^2+(cosy)^2+(cosz)^2=1，求证
(cotx)^2+(coty)^2+(cotz)^2>=3/2.

已知x，y，z是锐角，且(cosx)^2+(cosy)^2+(cosz)^2=1，求证
(cotx)^2+(coty)^2+(cotz)^2>=3/2.
此不等式因该有多种证法，下面提供一种。
证明 设a,b,c为正实数，
令(cosx)^2=a^2/(a^2+b^2+c^2) ，
(cosy)^2=b^2/(a^2+b^2+c^2)，
(cosz)^2=c^2/(a^2+b^2+c^2) 。
则(sinx)^2=(b^2+c^2)/(a^2+b^2+c^2) ，
(siny)^2=(c^2+a^2)/(a^2+b^2+c^2，
(sinz)^2=(a^2+b^2)/(a^2+b^2+c^2) 。
所以所求不等式置换后等价于
a^2/(b^2+c^2)+b^2/(c^2+a^2)+c^2/(a^2+b^2)>=3/2 (1)
由Cauchy不等式得
a^2/(b^2+c^2)+b^2/(c^2+a^2)+c^2/(a^2+b^2>=(a^2+b^2+c^2)^2/[2(b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2)]
故欲证(1)式只需证
2(a^2+b^2+c^2)^2>=6(b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2)
<==> 2(a^4+b^4+c^4)>=2(b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2)
<==> (b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2+(a^2-b^2)^2>=0.
上式显然成立。