已知x，y，z是正实数，且xyz=1，求证
x^3/(1+y)*(1+z)+y^3/(1+z)*(1+x)+z^3/(1+x)*(1+y)>=3/4.

已知x，y，z是正实数，且xyz=1，求证
x^3/(1+y)*(1+z)+y^3/(1+z)*(1+x)+z^3/(1+x)*(1+y)>=3/4.
证明 根据均值不等式得:
x^3/(1+y)*(1+z)+(1+y)/8+(1+z)/8≥3x/4 (1)
y^3/(1+z)*(1+x)+(1+z)/8+(1+x)/8≥3y/4 (2)
z^3/(1+x)*(1+y)+(1+x)/8+(1+y)/8≥3z/4 (3)
(1)+(2)+(3)得:
x^3/(1+y)*(1+z)+y^3/(1+z)*(1+x)+z^3/(1+x)*(1+y)≥(x+y+z)/2-3/4 (4)
而x+y+z≥xyz=3，
故得x^3/(1+y)*(1+z)+y^3/(1+z)*(1+x)+z^3/(1+x)*(1+y)≥3/4. 证毕。

证明(二)
根据均值不等式得:
x^3/(1+y)*(1+z)+x(1+y)/8(1+z)/16≥x^2/2 (1)
y^3/(1+z)*(1+x)+y(1+z)*(1+x)/16≥y^2/2 (2)
z^3/(1+x)*(1+y)+z(1+x)*(1+y)/16≥z^2/2 (3)
(1)+(2)+(3)得:
x^3/(1+y)*(1+z)+y^3/(1+z)*(1+x)+z^3/(1+x)*(1+y)
≥[8(x^2+y^2+z^2)-2(yz+zx+xy)-(x+y+z)-3]/16
≥[6(x^2+y^2+z^2) -(x+y+z)-3]/16
≥[6(x^2+y^2+z^2) -(x+y+z)-3]/16
≥[5(x^2+y^2+z^2)+ (x+y+z)-6]/16
≥[15+3-6]/16=3/4。证毕。

证明(三) 原不等式去分母等价于
4[x^3*(x+1)+y^3*(1+y)+z^3*(1+z)]≥3(x+1)*(y+1)*(z+1) ，(1)
下面来证更强式
4[x^3*(x+1)+y^3*(1+y)+z^3*(1+z)]≥(x+1)^3+(y+1)^3+(z+1)^3 (2)
<==> 4(x^4+y^4+z^4)+3(x^3+y^3+z^3)-3(x^2+y^2+z^2)-3(x+y+z)-3≥0
因为x^4+1≥2x^2，x^3+1≥x^2+x，所以只需证
x^2+y^2+z^2≥3。显然成立。
备注: 此不等式还有许证法与加强证明。