费马点问题
在最大角小于120°的△ABC中，P为费马点，AP，BP，CP延长后分别交对边于D，E，F. 求证: 1/EF^2+1/FD^2+1/DE^2≥4/BC^2+4/CA^2+4/AB^2.

费马点问题
在最大角小于120°的△ABC中，P为费马点，AP，BP，CP延长后分别交对边于D，E，F.
求证: 1/EF^2+1/FD^2+1/DE^2≥4/BC^2+4/CA^2+4/AB^2.

证明 令PA=x, PB=y, PC=z, 则PD=yz/(y+z), PE=zx/(z+x), PF=xy/(x+y),
BC=√(y^2+z^2+yz), CA=√(z^2+x^2+zx),AB=√(x^2+y^2+xy)。
EF=x*[√x^2*(y^2+z^2+yz)+3yz(yz+zx+xy)]/(x+y)(z+x),
FD=y*[√y^2*(z^2+x^2+zx)+3zx(yz+zx+xy)]/(y+z)(x+y)
DE=z*[√z^2*(x^2+y^2+xy)+3xy(yz+zx+xy)]/(z+x)(y+z).
下面先证三个局部不等式
(2yz+zx+xy)√(y^2+z^2+yz)≥(y+z)√[x^2*(y^2+z^2+yz)+3yz(yz+zx+xy)] (1-1)
(2zx+xy+yz)√(z^2+x^2+zx)≥(z+x)√[y^2*(z^2+x^2+zx)+3zx(yz+zx+xy)] (1-2)
(2xy+yz+zx)√(x^2+y^2+xy)≥(x+y)√[z^2*(x^2+y^2+xy)+3xy(yz+zx+xy)] (1-3)
因为T=(2yz+zx+xy)^2*(y^2+z^2+yz)-(y+z)^2*[x^2*(y^2+z^2+yz)+3yz(yz+zx+xy)]
=yz(yz+zx+xy)*(y-z)^2≥0,
故(1-1)式成立。同理可证(1-2),(1-3) 式。
记M=Σ(x+y)^2*(x+z)^2/x^2*[x^2*(y^2+z^2+yz)+3yzΣyz]-Σ[∏(y+z)]^2/[x^2*(2yz+zx+xy)^2*(y^2+yz+z^2)]
N=Σ[∏(y+z)]^2/[x^2*(2yz+zx+xy)^2*(y^2+yz+z^2)]-Σ4/(y^2+yz+z^2)
易求得:
M=Σ[yz*(z+x)^2*(x+y)^2*(y-z)^2*Σyz]/{x^2*(2yz+zx+xy)^2*(y^2+yz+z^2)*[x^2*(y^2+z^2+yz)+3yzΣyz)]}
N=N1+N2.其中
N1=Σx(y-z)^2*∏(y+z){(Σyz)^2*[2y^2*z^2+2xyz(y+z)+x^2*(y^2+z^2+yz)]+2yz*[-y^2*z^2+2x^2*yz+x^3*(y+z)]*Σyz+xy^2*z^2*[-yz(y+z)-2xyz+x^3]}/[y^2*z^2*(2zx+xy+yz)^2*(2xy+yz+zx)^2*(z^2+x^2+zx)*(x^2+y^2+xy)].
N2=2Σ(y-z)^2*{[-y^2*z^2+2x^2*yz+x^3*(y+z)]*Σyz+xyz[*[-yz(y+z)-2xyz+x^3]}/[yz*(2zx+xy+yz)*(2xy+yz+zx)*(z^2+x^2+zx)*(x^2+y^2+xy)].

关于M+N1+N2>=0,易证.
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