有关三角形面积不等式
设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上与顶点A，B，C不重合的任意三点，△ABC，△DEF，△AEF，△BFD，△CDE的面积分别记为S，T，X，Y，Z。
求证:T*S^2≥4X*Y*Z。

有关三角形面积不等式
设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上与顶点A，B，C不重合的任意三点，△ABC，△DEF，△AEF，△BFD，△CDE的面积分别记为S，T，X，Y，Z。
求证:T*S^2≥4X*Y*Z。 (1)

命题有误，原T*S^2≥4X*Y*Z要改为T*S^2≥4X*Y*Z。

证明 设AF/FB=k，BD/DC=n，CE/EA=m。则
AF=k*AB/(1+k)，BF=AB/(1+k);
CE=m*CA/(1+m)，AE=CA/(1+m);
BD=n*BC/(1+n)，CD=BC/(1+n).
X/S=k/(1+k)*(1+m),Y/S=n/(1+n)*(1+k),Z/S=m/(1+m)*(1+n)。
所以得
X*Y*Z/S^3=knm/[(1+k)*(1+n)*(1+m)]^2 (2)
又因为
T/S=1-X/S-Y/S-Z/S=(1+knm)/(1+k)*(1+n)*(1+m) (3)
根椐恒等式(2)与(3)，
S*T^2/X*Y*Z=(S^3/X*Y*Z)*(T/S)^2=(1+knm)^2/knm=4+(1-knm)^2/knm≥0.
故得 T^2*S≥4X*Y*Z。
当knm=1时取等号，由塞瓦定理知当AD,BE,CF相交于一点时取等号。