问题: 数学大师您可以帮帮我吗?
1)求不超过(根号7+根号5)的最大整数值
2)设x=1+1/根号2+1/根号3+...+1/根号100.求x的整数部分.
3)求证:三个方程ax^2+2bx+c=0---(1),bx6^2+2cx+a=0---(2)cx^2+2ax+b=0---(3),不可能都有两个相等的实数根.
解答:
(1)(√7+√5)^2=12+2√35 ∈(22,24)
所以不超过(根号7+根号5)的最大整数值是4.
(2)x=1+1/根号2+1/根号3+...+1/根号100
=1+2/2√2+2/2√3+…+2/2√100
>1+2/(√2+√3)+2/(√3+√4)+…+2/(√100+√101)
=1+2(√3-√2)+2(√4-√3)+…+2(√101-√100)
=1+2(√101-√2) <20
x=1+2/2√2+2/2√3+…+2/2√100
<1+2/(1+√2)+2/(√2+√3)+…+2/(√99+√100)
=1+2(√2-1)+2(√3-√2)+…+2(√100-√99)
=1+2(√100-1) =19
所以:x的整数部分为19.
(3)缺条件,应该加上一个条件:a,b,c为不全相等的三个实数.
反证法.
假设三个方程都有两个相等的实根.
所以△1=4b^2-4ac=0,△2=4c^2-4ab=0,△3=4a^2-4bc=0
所以b^2=ac,c^2=ab,a^2=bc
所以:a=b=c
这与a,b,c不全相等矛盾.证毕.
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