一个自然数若能表示成两个自然的平方数，则称该自然数为“聪明数”。试问
(1) 1998是不是“聪明数”？说明理由;
(2) 从小到大排列，第1000个“聪明数”是哪个自数数？

一个自然数若能表示成两个自然的平方数，则称该自然数为“聪明数”。试问
(1) 1998是不是“聪明数”？说明理由;
(2) 从小到大排列，第1000个“聪明数”是哪个自数数？

解 (1)，设m,n是自然数，m>n。假设1998是“聪明数”，不妨设
m^2-n^2=1998.
<==> (m+n)*(m-n)=2*999.
因为m+n与m-n是奇偶性相同的，即要么同为奇，要么同为偶，故不可能为1998，所以1998不是“聪明数”。
(2)，设k是自然数，则形如2k+2的自然数都不是“聪明数”。
而 4k=(2k+1)^2-(2k-1)^2;
2k+1=(k+1)^2-k^2.
所以形如4k,2k+1(1除外)的自然数都是“聪明数”。从小到大排列为3,4,5,7,8,9,11,12,13,15,16,17,19,20,21,23,24,25,27,28,29…500,501…1000,1001…1335,1336…
故第n个“聪明数”为n+2+[(n-1)/3] {[]表示取整函数}
所以n=1000时，这个“聪明数”是1000+2+[(1000-1)/3=1335。