正三角形问题
设P为正三角形ABC平面上任一点，PA=a,PB=b,PC=c，求正三角形ABC的边长。

设P为正三角形ABC平面上任一点，PA=a,PB=b,PC=c，求正三角形ABC的边长。

解 对于正三角形ABC平面上任一点P，过P点分别作PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，垂足分别为D，E，F。显然可求得:EF=(√3)/2*PA，FD=(√3)/2*PB，DE=(√3)/2*PC， 所以说PA，PB，PC三线段均可做构成一个任意三角形DEF。设△DEF的面积为W，则
W={√[6(b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2)-3(a^4+b^4+c^4)]}/2。(1)
注意:当P点在正三角形ABC的外接圆上，由西姆松定理知:三垂足D，E，F共线，此时三角形DEF退化为直线DEF。
设正三角形ABC边长为d，令T=a^2+b^2+c^2，由旋转变换或解析几何方法可求得:
d^2=[T±2W]/2 (2)
当P点在正三角形ABC形内, d^2=[T+2W]/2;
当P点在正三角形ABC形外, d^2=[T-2W]/2;
当P点在正三角形ABC的外接圆上，d^2=T/2。
2(b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2)-(a^4+b^4+c^4)=0
这就是说，P在正三角形ABC的外接圆上，则PA^2+PB^2+PC^2=2d^2。
曾有两道熟知的命题:
命题一 设P为正三角形ABC平面上任一点，PA=3,PB=4,PC=5，求正三角形ABC的边长。所以得:d^2=50+24√3。
命题二 设P为正三角形ABC平面上任一点，PA=2,PB=2√3,PC=4，求正三角形ABC的边长。所以得:d^2=56。