设a,b,c∈(0,+∞)且a+b+c=1,求证:(1÷a-1) (1÷b-1) (1÷c-1)≥8

设a,b,c∈(0,+∞)且a+b+c=1,
求证:(1/a-1) (1/b-1) (1/c-1)≥8 (1)
证明 因为a+b+c=1，所以
(1/a-1) (1/b-1) (1/c-1)=(1-a)*(1-b)*(1-c)/(abc)
=(b+c)*(c+a)*(a+b)/(abc)
故原不等式等价于
(b+c)*(c+a)*(a+b)≥8abc (2)
<==> a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)-6abc≥0
<==> a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2≥0
上式显然成立，当a=b=c=1/3时取等号。
备注: (2)式用均值不等式也可证明。