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问题: 几何证明

几何证明
在△ABC中,∠A=20°,AB=AC=b,BC=a,求证:a^3+b^3=3ab^2

解答:

几何证明
在△ABC中,∠A=20°,AB=AC=b,BC=a,求证:a^3+b^3=3ab^2 .

证明 以AB为轴作C点对称点E,以AC为轴作B点对称点F,连BE,CF,EF,EF分别与AB,AC交于M,N。
易证等腰△AEB∽等腰△EMB,即BE/BM=AB/BE,<==> BM=a^2/b。
于是AM=AB-BM=(b^2-a^2)/b,
MN=AM*BC/AB=a(b^2-a^2)/b^2。
因为b=EF=EM+MN+NF=a+a(b^2-a^2)/b^2+a=(3ab^2-a^3)/b^2
从而得: a^3+b^3=3ab^2。
备注: ∠A=20°,∠ABC=∠ACB=80°,即∠ABC=∠ACB=4∠A,据三角形四倍公式即得所证不等式.