不等式难题{高分征解}
设x,y,z是正实数，且x+y+z=1，m,n是正整数且不同时为1。求证:
x^m*y^n+y^m*z^n+z^m*x^n≤m^m*n^n/(m+n)^(m+n).

不等式难题{高分征解}
设x,y,z是正实数，且x+y+z=1，m,n是正整数且不同时为1。
求证:
x^m*y^n+y^m*z^n+z^m*x^n≤m^m*n^n/(m+n)^(m+n).

证明 对于三元轮换对称，共有两种形式，即
P=x^m*y^n+y^m*z^n+z^m*x^n (1)
Q=x^n*y^m+y^n*z^,+z^n*x^m (2)
P-Q=T*(x-y)*(y-z)*(z-x)
T是各种正的x,y,z的全对称式，这个证明很繁杂，书写不便，举几例说明吧.
例1:y^4*z+z^4*x+x^4*y-y*z^4-z*x^4-x*y^4
=(x-y)*(y-z)*(z-x)*[Σx^2+Σyz].
例2:y^4*z^2+z^4*x^2+x^4*y^2-y^2*z^4-z^2*x^4-x^2*y^4
=(x-y)*(y-z)*(z-x)*(y+z)*(z+x)*(x+y).
例3:y^5*z^2+z^5*x^2+x^5*y^2-y^2*z^5-z^2*x^5-x^2*y^5
=(x-y)*(y-z)*(z-x)*[Σx^3*(y+z)+Σ(yz)^2+2xyzΣx].
例4:y^6*z+z^6*x+x^6*y-y*z^6-z*x^6-x*y^6
=(x-y)*(y-z)*(z-x)*[Σx^4+Σx^3*(y+z)+Σ(yz)^2+xyzΣx].
例5:y^7*z+z^7*x+x^7*y-y*z^7-z*x^7-x*y^7
=(x-y)*(y-z)*(z-x)*[Σx^5+Σx^4*(y+z)+Σx^3*(y^2+z^2)+xyzΣyz+xyzΣx^2].
于是可得
当x<y<z[y<z<x,z<x<y]，m<n时，总有P>Q;
当x<y<z[y<z<x,z<x<y]，m>n时，总有P<Q;
当x>y>z[y>z>x,z>x>y]，m>n时，总有P>Q;
当x>y>z[y>z>x,z>x>y]，m<n时，总有P<Q.
因此我们只需证明当x>y>z，m>n，
P=x^m*y^n+y^m*z^n+z^m*x^n≤m^m*n^n/(m+n)^(m+n). (3)
即可。
先证 当x>y>z,m>n，f(x,y,z)≤f(x+z,y,0) (4)
当x>y>z,易知m≥2有
(x+z)^m≥x^m+mzx^(m-1)≥x^m+2zx^(m-1)则
f(x+z,y,0)-f(x,y,z)=(x+z)^m*y^n-(x^m*y^n+y^m*z^n+z^m*x^n)
≥2x^(m-1)*y^n*z-y^m*z^n-z^m*x^n
=zy^n[x^(m-1)-y^(m-1)]+zy^m[y^(n-1)-z^(n-1)]+x^n*y^n*z[x^(m-n-1)-y^(m-n-1)]+zx^n[y^(m-1)-z^(m-1)]>0，
故(4)成立。
再证当x>y>z,m>n，f(x+z,y,0)≤m^m*n^n/(m+n)^(m+n). (5)
f(x+z,y,0)=f(1-y,y,0)=(1-y)^m*y^n
=[1/(m^n*n^m)]*[n-ny)^m]*[(my)^n]
≤[1/(m^n*n^m)]*[mn/(m+n)]^(m+n)
=m^m*n^n/(m+n)^(m+n)。
易验证当x=m/(m+n),y=n/(m+n),z=0时(5)式取等号.