问题: 高三数学
已知数列(8*1)/(1^2*2^2),(8*2)/(3^2*5^2),(8*3)/(5^2*7^2),.........8N/[(2N-1)*(2N+1)],Sn为其前n项和。
（1）求S1,S2,S3,S4.
(2)观察上述结果，推测其前n项和公式，并用数学归纳法加以证明。
解答:
你还有一个地方写错，就是后面的通式，应为8N/[(2N-1)*(2N+1)]^2
解，设数列{an}=8N/[(2N-1)*(2N+1)]^2
所以a1=8/9
a2=16/225
a3=24/1225
a4=32/3969
S1=8/9
S2=24/25
S3=48/49
S4=80/81
猜想Sn=[(2n+1)^2-1]/(2n+1)^2
S1=8/9＝(3^2-1)/3^2成立
假设n=k时成立，所以Sk=[(2k+1)^2-1]/(2k+1)^2
当n=k+1时，
S（k+1）=Sk+a(k+1)
=[(2k+1)^2-1]/(2k+1)^2+8(k+1)/[(2k+1)*(2k+3)]^2
={[2(k+1)+1]^2-1}/[2(k+1)+1]^2
综上所述Sn=[(2n+1)^2-1]/(2n+1)^2成立
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