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问题: 代数问题

代数问题
任给13个实数,求证其中至少有两个实数x,y满足:0≤(x-y)/(1+xy)≤2-√3。

解答:

任给13个实数,求证其中至少有两个实数x,y满足:0≤(x-y)/(1+xy)≤2-√3。
证明 设任意13个实数分别记为tanβi,βi∈(-π/2,π/2) ,i=1,2…13.
将(-π/2,π/2)等分成12个区间,则βi至少有两个角的终边落在同一等分区间,令这两角分别为α,γ,α>=γ,则0≤α-γ≤π/12,再令x=tanα,y=tanγ。则
tan(α-γ)=(x-y)/(1+xy) 。
由于正切是增函数,且tan(π/12)=2-√3,
所以0≤tan(α-γ)= (x-y)/(1+xy)≤2-√3。证毕。