三角难题
设A+B+C=180°，且max(A,B,C)≥90°。求证:
5/3≤(sinA)^2/[(sinB)^2+(sinC)^2]+(sinB)^2/[(sinC)^2+(sinA)^2]+(sinC)^2/[(sinA)^2+(sinB)^2]<12/5。
正确全面解答者加分100。

三角难题
设A+B+C=180°，且max(A,B,C)≥90°。求证:
5/3≤(sinA)^2/[(sinB)^2+(sinC)^2]+(sinB)^2/[(sinC)^2+(sinA)^2]+(sinC)^2/[(sinA)^2+(sinB)^2]<12/5。 (1)

证 在非锐角三角形ABC中，即max(A,B,C)≥90°a,b,c分别是对应边，则上述不等式转化为
5/3≤a2/(b^2+c^2)+b^2/(c^2+a^2)+c^2/(a^2+b^2)<12/5。 (2)
不失一般性，设A=max(A,B,C)≥90°，则(b+c)^2>a^2≥b^2+c^2。
先证(2)左边，(2)式左边化间整理等价于
3a^6-2a^4*(b^2+c^2)-2a^2*(b^4+c^4)-(abc)^2+3(b^6+c^6)-b^2*c^2*(b^2+c^2)≥0 (3)
(3)分解为
(a^2-b^2-c^2)*[3a^4+a^2*(b^2+c^2)-b^4-c^4+b^2*c^2]+(b^2+c^2)(b^2-c^2)^2≥0
上式显然成立。故(3)式成立.
先证(2)右边，(2)式右边化间整理等价于
-5a^6+7a^4*(b^2+c^2)+7a^2*(b^4+c^4)+9(abc)^2-5(b^6+c^6)+7b^2*c^2*(b^2+c^2)≥0 (4)
(4)分解为
[(b+c)^2-a^2]*[5(a^2-b^2)*(a^2-c^2)+3b^2*(a^2-b^2)+3c^2*(a^2-c^2)+7b^2*c^2+5a^2*bc]+[6a^2*(b^2+c^2+bc-2(b^4+c^4)+2bc(b^2+c^2)+9b^2*c^2]*(b-c)^2≥0
上式显然成立。故(4)式成立.
综上,不等式链(1)得证。