在△ABC中，试证:
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2≤[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2

在△ABC中，试证:
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2≤[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2

证明 运用三角形恒等式:
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=(s^2-4Rr-r^2)/(2R^2),
[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2 =(4R+r)/(2R)
故所证不等式等价于
(s^2-4Rr-r^2)/(2R^2)≤(4R+r)/(2R)
<==> s^2-4Rr-r^2≤R(4R+r)
<==> 4R^2+5Rr+r^2>=s^2，即为已知不等式。

上述证法提问者不一定懂，下面给出一种三角证明
x=2[cos(A/2)]^2-(sinB)^2-(sinC)^2
=cosA+1-[1-cos(2B)+1-cos(2C)]/2
=cosA+coa(B+C)*cos(B-C)
=cosA*[1-cos(B-C)].
y=2[cos(B/2)]^2-(sinC)^2-(sinA)^2=cosB*[1-cos(C-A)]
z=2[cos(C/2)]^2-(sinA)^2-(sinB)^2=cosC*[1-cos(A-B)]
显然△ABC为锐角三角形时成立。
仅需证钝角三角形情况，不妨设A>B>C，易证:z>0
cosB+cosA>0， cos(B-C)>cos(C-A) ,1-cos(C-A)>1-cos(B-C).
即x+y>0，从而x+y+z>0。