不等式征集证法。
设x,y,z为正实数，且x+y+z=1, 求证:4(yz+zx+xy)-9xyz≤1

不等式征集证法。
设x,y,z为正实数，且x+y+z=1, 求证:4(yz+zx+xy)-9xyz≤1 (1)

陕西刀歌曾提出如下问题，见http://iask.sina.com.cn/b/13288366.html
设x,y,z为正实数，且x+y+z=1,，求证: yz+zx+xy-2xyz≤7/27。 (2)
要求除齐次化之外的其它证明，我化了两天时间准备回答，他己经结束了提问。
不等式(1)中的系数配置是最佳的，不等式(1)等价于下面两个不等式:
6(x^3+y^3+z^3)+1≥5(x^2+y^2+z^2) (3)
3(x^3+y^3+z^3)+5(yz+zx+xy)≥2 (4)
易验证不等式(1) 强于不等式(2) 。

下面给出四种不同证法，仅供参考。
证法一[三角代换法]，在三角形ABC中，s,R,r分别表示及半周长，外接与内切圆半径。
设x=tan(B/2)*tan(C/2),y=tan(C/2)*tan(A/2),z=tan(A/2)*tan(B/2), 则∏tan(A/2)=r/s，Σtan(A/2)=(4R+r)/s，将其代换得:
4∏tan(A/2)*Σtan(A/2)-9[∏tan(A/2)]^2≤1
<==> 4r(4R+r)/s^2-9r^2/s^2≤1
<==> s^2≥16Rr-5r^2, 此式为己知不等式。

证法二[齐次化法] 不等式(1)等价于
4(yz+zx+xy)*(x+y+z)-9xyz≤(x+y+z)^3
上式展开整理得:
x^3+y^3+z^3+3xyz-x^2*(y+z)-y^2*(z+x)-z^2*(x+y)≥0 (5)
<==> xyz≥(y+z-x)*(z+x-y)*(x+y-z) 此式为己知不等式。

证法三[分解法]
对于三个正数之和等于1的三个数，总存在下列两种关系:
1>x≥1/3≥y≥z>0; 1>z≥y≥1/3≥x>0，
那么总有下列不等式成立:
x(3y-1)(3z+1)≥0
而(y-z)^2)≥0,x(x+y+z-1)=0
三者相加得:
x(3y-1)(3z+1)+(y-z)^2)+x(x+y+z-1)≥0
上式展开整理得:
x^2+y^2+z^2-2(yz+zx+xy)+9xyz≥0
<==> 1+9xyz≥4(yz+zx+xy).

证法四[函数法] 设x=max(x,y,z) ，将x=1-y-z代入所证不等式(1)中得:
(4-9z)*y^2+(4-9z)(z-1)*y+(2z-1)^2≥0 (6)
因为x=max(x,y,z) ，x+y+z=1，故4-9z>0，根据一元两次判别式只需证:
4(4-9z)*(2z-1)^2-[(4-9z)(z-1)]^2≥0
<==> z(4-9z)*(3z-1)^2≥0，故(6)式成立。

备注: 不等式(1), 不等式(3), 不等式(4) 经齐次化处理后都等价于(5)式，将x=1-y-z代入后化简整理均等价于(6)式。不等式(1), 不等式(3), 不等式(4)系数配置均是最佳的。