在△ABC中，P是△ABC的内部一点，且∠BPC=∠CPA=∠APB=120°，AP,BP,CP延长交BC,CA,AB于D,E,F。
求证： PA+PB+PC>=2(PD+PE+PF).

在△ABC中，P是△ABC的内部一点，且∠BPC=∠CPA=∠APB=120°，AP,BP,CP延长交BC,CA,AB于D,E,F。
求证： PA+PB+PC≥2(PD+PE+PF).
证明 因为P是△ABC的内部一点，且∠BPC=∠CPA=∠APB=120°，则P是△ABC的费马点，PD,PE,PF分别是∠BPC,∠CPA,∠APB的角平分线，所以有:
PD=PB*PC/(PB+PC), PE=PC*PA/(PC+PA), PF=PA*PB/(PA+PB) 。
易证下列三个局部不等式:
PB+PC≥4PB*PC/(PB+PC);
PC+PA≥4PC*PA/(PC+PA);
PA+PB≥4PA*PB/(PA+PB).
上述三式相加即得所证不等式。