问题 设P是ΔABC内部一点，过P作三边BC,CA,AB的垂线，垂足分别为D,E,F。试证点P的垂足三角形DEF的面积不超过三角形ABC面积的四分之一。

证明 设P点垂足ΔDEF面积为F,ΔABC面积为Δ，令PD=x,PE=y,PC=z,BC=a,CA=b,AB=c,R，Δ分别表示ΔABC的外接圆半径和面积。则有
F=[yz*sinA+zx*sinB+xy*sinC]/2=[ayz+bzx+cxy]/(4R)。
故上述问题转化为求证
ayz+bzx+cxy≤RΔ (1)
据恒等式:abc=4RΔ，则上式为
ayz+bzx+cxy≤abc/4 (2)
设P点关于坐标ΔABC的重心坐标为P(x,y,z)，对(2)式作置换等价于
R^2*(x+y+z)^2≥yza^2+zxb^2+xyc^2 (3)
(3)展开化简为
(R*x)^2+(R*y)^2+(R*z)^2+(2*R^2-a^2)*yz+(2*R^2-b^2)*zx+(2*R^2-c^2)*xy≥0
上式配方整理得:
[R*x+(2*R^2-c^2)*y/(2R)+(2*R^2-b^2)*z/(2R)]^2
+[c*y*cosC-b*z*cosB]^2≥0，显然成立。
易验证当x:y:z=acosA:bcosB:ccosC，即外心时，取等号。证毕。