甲、乙两个桶，甲桶内装了1升油，乙桶是空的。第一次把甲桶的油倒给乙桶1/2，第二次把乙桶中的油倒给甲桶1/3，第三次把甲桶中的油倒给乙桶1/4，第四次把乙桶中的油倒给甲桶1/5。如此反复，不计消耗，倒了19次，甲桶中有多少升油？

原则就是不管怎么倒，每次倒完，两个桶里的油加起来都是1升。

第一次倒：甲1/2，乙1/2
第二次倒：乙（1/2）*[1-（1/3）]=1/3，甲1-（1/3）=2/3
第三次倒：甲（2/3）*[1-（1/4）]=1/2，乙1-（1/2）=1/2
第四次倒：乙（1/2）*[1-（1/5）]=2/5，甲1-（2/5）=3/5
第五次倒：甲（3/5）*[1-（1/6）]=1/2，乙1-（1/2）=1/2
第六次倒：乙（1/2）*[1-（1/7）]=3/7，甲1-（3/7）=4/7
第七次倒：甲（4/7）*[1-（1/8）]=1/2，乙1-（1/2）=1/2
。。。。。。。。
很容易看出来，奇数次倒的时候，甲与乙桶中都是1/2升油。
所以，倒19次后，甲桶中有油1/2升。

我们来证明一下：
因为第一次倒完后甲与乙都是1/2升油。那么我们设下一次是第N次（即偶数次）倒的时候，是乙倒1/N到甲桶，那么甲桶有油
（1/2）+（1/2）*（1/N）=（N+1）/（2N）
那么，下一次倒的就是第N+1次（奇数次）倒，是从甲桶倒
1/（N+1）到乙桶，那么甲桶还有油
[（N+1）/（2N）]*{1-[1/（N+1）]}
=[（N+1）/（2N）]*[N/（N+1）]=1/2

所以，只要是奇数次倒，甲桶中始终有油1/2升。

第一次发送的时候只证明到这里，我就再证明一下偶数次倒时甲桶还有多少升油。因为第4次倒的时候是乙倒1/5到甲，第6次倒的时候是乙倒1/7到甲。即每次倒的几分之几比具体倒的第几次多1，那么，我们设第N次倒，乙倒1/（N+1）到甲。
刚才证明了，偶数次倒完甲与乙桶中都有1/2升油。
那么，甲桶里已经有1/2升油了，乙倒1/（N+1）到甲。则甲有
（1/2）+（1/2）*[1/（N+1）]
=（1/2）+1/（2N+2）=（N+2）/（2N+2）升油。

如果是第六次倒，甲有（6+2）/（2*6+2）=8/14=4/7升油
如果是第12次倒，甲有（12+2）/（2*12+2）=14/26=7/13升油