问题: 四边形问题
四边形问题
在四边形ABCD中， AB= BC，∠ABC=60°，若∠AED=120°，试确定EA+DE+EC和BD的大小关系并证明。
解答:
四边形问题
在四边形ABCD中， AB= BC，∠ABC=60°，若∠AED=120°，试确定EA+DE+EC和BD的大小关系并证明。
证明 EA+DE+EC≥BD， (1)
当E点在BD上时(1)式取等号。
下面来证明(1)式。连BD,AC，BE。
因为AB= BC，∠ABC=60°，所以△ABC为正三角形,即AB=BC=CA。
又∠AED+∠ABC=120°+60°=180°，故E点在正△ABC的外接圆上。
根据托勒密定理得:
BC*AE+AB*CE+CA*BE <==> AE+CE=BE (2)
在△BED中，显然BE+DE≥BD，当E点落在BD上取等号。
因而由(2)式即得:EA+DE+EC≥BD。证毕。
备注:如果没有∠AED=120°条件也成立，难度增加了！
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