1)若a,b,c是实数,且a+b+c=0,abc=1,求证:a,b,c中必有一数大于3/2.
2)已知实数a,b,满足a^2+ab+b^2=1,且t=ab-a^2-b^2,那么t的取值范围是?
3)已知三角形ABC的三边长a,b,c满足(1)a>b>c,(2)a+c=2b,(3)b是正整数,(4)a^2+b^2+c^2=84.试求正整数b的值.

1）证明：由a+b+c=0及abc=1可知，a,b,c中只有一个正数、两个负数，不妨设a是正数，由题意得b+c=-a,又：bc=1/a;
于是根据韦达定理知，b,c是方程x^2+ax+1/a=0的两个根，又b,c是实数，
因此上述方程的判别式
△=a^2-4/a大于0因为a>0,所以a^3-4大于0,a^3大于4
a大于（4)^(1/3)大于(3.375)^(1/3)=1.5;
这也就证明了a,b,c中必有一个大于1.5

2）解： a^2+ab+b^2=1
转换a^2+2ab+b^2-ab=1或a^2-2ab+b^2+3ab=1得
(a+b)^2-ab=1
且（a-b)^2+3ab=1
因为(a+b)^2或（a-b)^2均≥0
所以可以得出-1≤ab≤1/3
t=ab-a^2-b^2,
由a^2+ab+b^2=1代入上式
t=2ab-1
ab=(t+1)/2
-1≤ab≤1/3
所以-3≤t≤-1/3

3）解：2b＝a＋c，
则4b^2=a^2+2ac+c^2，2ac=4b^2-a^2-c^2；
∵a>0，c>0，由均值不等式，a^2+c^2≥2ac，即a^2+c^2≥4b^2-a^2-c^2，
化简得a^2+c^2≥2b^2；
∵a^2+b^2+c^2=84，∴84≥2b^2+b^2=3b^2，
解得b^2≤28；
∵b是正整数，∴b可能的取值为5，4，3，2，1；
若b=3，则c<3，a<b+c<6，
则a^2+b^2+c^2<54<84；
∴b>3，即b可能的取值为4或5；
若b=4，则a+c=2b=8，a^2+16+c^2=84；
联立以上两式得c=10>b，∴b≠4；
∴b=5.

参考文献：百度知道