问题: 三角问题
在△ABC中，设R,r分别表示△ABC的外接圆半径与内切圆半径.求证:
cosBcosC+2sin(B/2)sin(C/2)≤1-r/2R
解答:
在△ABC中，设R,r分别表示△ABC的外接圆半径与内切圆半径.
求证: cosBcosC+2sin(B/2)sin(C/2)≤1-r/2R (1)
证明 据己知三角形半角的恒等式：
[sin(A/2)]^2+[sin(B/2)]^2+[sin(C/2)]^2=1-r/2R
所以欲证(1)式只需证
[sin(A/2)]^2+[sin(B/2)]^2+[sin(C/2)]^2-cosBcosC-2sin(B/2)sin(C/2)≥0 (2)
再由三角形半角的恒等式:
[sin(A/2)]^2-cosBcosC={sin[(B-C)/2]}^2，
故(2)式化简等价于
{sin[(B-C)/2]}^2+[sin(B/2)-sin(C/2)]^2≥0，
因而不等式(1),(2)成立。
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