问题: 帮忙解决作业中的难题
在直角坐标系中,由动点P引圆x^2 + y^2 =10的两条切线PA，PB．直线 PA，PB的斜率分别为 k，k'．（１）若k+k'=-1-k*k',求动点P的轨迹方程．（２）若点P在直线x+y=t上，且PA⊥ PB，求实数t的取值范围．
自原点Ｏ作圆(x-1)^2 +y^2 =1的不重合两弦OA,OB,如果|OA|*|OB|=k（定值），那么不论A,B两点的位置怎样直线AB恒切与一个定圆．
解答:
1) 若k1+k2=-1-k1k2,求动点P的轨迹方程
设点P为(a,b),
直线为y-b=k(x-a)
代入圆方程
x²+(kx-ak+b)²=10
(1+k²)x²-2kx(ak-b)+(ak-b)²-10=0
因直线与圆相切则方程仅有一实根
则4k²(ak-b)²=4(1+k²)[(ak-b)²-10]
<=>a²k^4-2abk³+b²k²=a²k^4-2k³ab+k²(b²-10)+a²k²-2abk+b²-10
<=>(a²-10)k²-2abk+b²-10=0
则k1+k2=2ab/(a²-10),k1*k2=(b²-10)/(a²-10)
因k1+k2+k1×k2=-1,
则2ab/(a²-10)+(b²-10)/(a²-10)=-1
2ab+a²-10+b²-10=0
(a+b)²=20
P点轨迹为x+y=±2√5两直线，除点(±√5,±√5)。
2) 若点P在直线x+y=t上,且AP⊥BP,求实数t的取值范围
已证k1*k2=(b²-10)/(a²-10)
AP⊥BP
则k1*k2=-1
则(b²-10)/(a²-10)=-1
a²+b²=20
P点轨迹为x²+y²=20
有P在直线x+y=t上
则(t-y)²+y²-20=0
y²-ty+t²/2-10=0
则t²>=4(t²/2-10)
t²<=40
则-2√10≤t≤2√10
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