已知正方形OPQR内接△ABC，P,Q在BC边上，O在AB边上，R在CA边上。△AOR，△BOP和△CPQ的面积分别是1，3，1，，求正方形OPQR的边长是多少？

已知正方形OPQR内接△ABC，P,Q在BC边上，O在AB边上，R在CA边上。△AOR，△BOP和△CPQ的面积分别是1，3，1，，求正方形OPQR的边长是多少？

证明 设内接正方形PQRO的边长为x，过A点作BC的垂线，交BC于H，交OR为D，因为
2S(BOP)=6=x*BP <==> BP=6/x，
2S(CPQ)=2=x*CQ, <==> CQ=2/x，
所以 BC=BP+PQ+OC=x+6/x+2/x=x+8/x。
又 S(ABC)=S(ARO)+S(BOP)+S(CPQ)+x^2=5+x^2。
故 AH=2S(ABC)/BC=2x(x^2+5)/(x^2+8) 。
AD=2S(AOR)/OR=2/x。
因为三角形ABC相似于三角形AOR，所以AD/AH=OR/BC，
即 (2/x)/[2x(x^2+5)/(x^2+8)]=x/[(x^2+8)/x]
<==> (x^2+8)/[x^2*(x^2+5)=x^2/(x^2+8)
<==> x^4*(x^2+5)-(x^2+8)^2=0
<==> x^6+4x^4-16x^2-64=0
<==> (x^2-4)*(x^2+4)^2=0
所以x^2=4，即x=2，因此正方形OPQR的边长是2。