问题: 已知x y∈R+, ,且X+4Y=1 ,则X^2Y 的最大值为
已知x、y∈R+, ,且X+4Y=1 ,则X^2Y 的最大值为
过程
解答:
解：由已知得x=1-4y＞0，故y＜1/4，代入另一已知等式，得
x²y=(1-4y)²y=16y³-8y²+y
记f(y)=16y³-8y²+y，则
f`(y)=48y²-16y+1，令f`(y)=0，解得
y=1/12，1/4
当0＜y＜1/12时，f`(y)＞0，f(y)单调递增；
当1/12＜y＜1/4时，f`(y)＜0，f(y)单调递减。
故f(y)max=f(1/12)=1/27
此时x=2/3，y=1/12。
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