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北京市西城区2004—2005学年度高三年级抽样测试
数学（理科）试卷参考答案及评分标准

一、选择题
1．B 2．B 3．C 4．B 5．A 6．D 7．C 8．D
二、填空题（一题两空的题目，第一个空2分，第二个空3分）
9．2； 10．30°； 11．－10，2； 12．（－1，2），（－2，－1）
13． 14．①0，② 、（－1）x等
（提示：对于 可以是0.5）
三、解答题（限于篇幅，每题只给出一种答案，其他答案仿此给分）
15．解：（Ⅰ） ………………3分
= …………5分
…………7分
因为 ……8分
，所以B=30°或B=150°.…………10分
（Ⅱ）
因为0<B<π，所以2sinB的最大值为2，…………11分
所以 …………13分
16．解（Ⅰ）至少有一名女同学的概率为 …………3分 ……4分
（Ⅱ）同学甲被选中的概率为 ……6分
则同学甲被中且通过测试的概率为0.3×0.7=0.21……8分
（Ⅲ）根据题意， 的可能取值为0、1、2、3，
…………10分
…………12分
所以， 的分布列为


（注：四个概率值正确，但未写分布列倒扣1分）
…………13分
17．解：方法（Ⅰ）取B1C1中点D，连结ND，A1D，
所以DN//BB1///AA1又，
所以四边形A1MND为平行四边形，
所以MN//A1D；…………2分
又 ，
所以MN//平面A1B1C1；…………4分
（Ⅱ）三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以CC1⊥BC，
又∠ACB=90°，所以BC⊥平面A1MC1，…………6分
在平面ACC1A中过C1做C1H⊥CM，又BC⊥C1H，
所以C1H为C1到平面BMC的距离.…………8分
在等三角形CMC1中，CC1= ，
所以 ……9分
（Ⅲ）在平面ACC1A1上作CF⊥C1M，交C1M于点E，A1C1于点F.
则CE为BE在平面ACC1A1上的射影，所以BE⊥CM1，
所以∠BEF为二面角B—C1M—A1的平面角.…………11分
在等腰三角形CMC1中，CE=C1H= ，
所以 ……13分
所以
…14分
方法二（Ⅰ）如图，以点C为坐标原点，以CB所在
直线为Ox轴，CA所在直线为Oy轴，CC1所在直线
为Oz轴，建立空间直角坐标系.
由已知得 、 、 .
, ,
所以
所以 …………2分 所以MN//A1D；
又 所以MN//平面A1B1C1；…………4分
（Ⅱ）B（2，0，0）、C（0，0，0），
设垂直于平面BCM的向量
所以 ……6分 所以
所以C1到平面BMC的距离为 ……8分 ……9分
（Ⅲ）三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，所以CC1⊥BC，
……10分
设垂直于平面BMC1的向量
所以 即
所以 …………12分
所求二面角的大小 ……13分
即二面角B—C1M—A1的大小为 ……14分
18．解（Ⅰ） ……2分

由已知 ……………………4分
…………5分
（Ⅱ）设过点A的直线为 、F(x2,y2)
联立方程组 ……7分
y1y2=12p2………………8分
…………10分
， 所以
…………………………13分
由y1y2=12p2,得 =0…………14分
19．解（Ⅰ）由已知 …………1分
…………3分
所求，所求切线斜率为 …………4分
切线方程为
所以，函数y=f (x)过点P的切线过点（b,0）…………5分
（II）因为 ，所以 ，
…………………………6分
当 时，函数 上单调递增，在（ ， ）单调递减，
在 上单调递增.…………………………7分
所以，根据题意有 …………………8分 即
解之得 ，结合 ，所以 …………9分
当 时，函数 单调递增.………………10分
所以，根据题意有 ……………………11分
即 ， 整理得
因为 ，所以上述不等式无解，……………………13分
综上， .
20．解：（I）由已知 令 …………1分
令 …………………………2分
同理， 所以
……………………4分
（II）因为 …………6分
所以
…………8分
而 时，易知 成立，所以 ……9分
（III）假设有两个点A（ 、 ，且 ，
都在函数 上，即
所以 消去k得 ，……①…………10分
以下考查数列 的增减情况，
，
当 时， >0，所以对于数列 有
……………………12分
所以①式不能成立，所以，不可能有两个点同时在函数 …………13分