在2×n方格表的每个方格都写有一个正数，使得每一列中的两个数的和都等于1。证明：可以从每一列中删去一个数，使得每一行中剩下的数的和都不超过(n+1)/4

1.
在2×n方格表的正数:
a1 , a2,...,an
1-a1,1-a2,...,1-an

可设:a1≤a2≤...≤an,且a1≤1/2.

2.
有1≤k≤n,使
a1+a2+...+ak≤(n+1)/4,且a1+a2+...+ak+a(k+1)>(n+1)/4.
若k=n,则命题成立.

3.
1≤k<n,现证明:
[1-a(k+1)]+[1-a(k+2)]+...+[1-an]≤(n+1)/4.
反证法:
设[1-a(k+1)]+[1-a(k+2)]+...+[1-an]>(n+1)/4.
显然有:
[a1+a2+...+ak+a(k+1)]/(k+1)≤a(k+s),1≤s≤n-k.
==>
1-a(k+s)≤1-[a1+a2+...+ak+a(k+1)]/(k+1)
==>
(n+1)/4<[1-a(k+1)]+[1-a(k+2)]+...+[1-an]≤
≤{1-[a1+a2+...+ak+a(k+1)]/(k+1)}*(n-k)
==>
[a1+a2+...+ak+a(k+1)]/(k+1)<1-(n+1)/[4(n-k)]
==>
(n+1)/[4(k+1)]<1-(n+1)/[4(n-k)]
==>
(n+1)(n-k)<(k+1)[3n-4k-1]
<==>
4k^2-4(n-1)+n^2-2n+1=[2k-(n-1)]^2<0
矛盾,所以反证法的设
[1-a(k+1)]+[1-a(k+2)]+...+[1-an]>(n+1)/4错误.
==>
[1-a(k+1)]+[1-a(k+2)]+...+[1-an]≤(n+1)/4.

因此第一行删去a(k+1),a(k+2),...,an,
第二行删去1-a1,1-a2,...,1-ak后
满足命题的要求.