求使得[a,b]=1000 [b,c]=2000 [c,a]=2000的正整数的有序数(a,b,c)的个数...

[a,b]=1000--->a=1000/x,y=1000/y, (x,y)=1.
[b,c]=2000--->b=2000/(2y), c=2000/z, (2y,z)=1,所以z为奇数--->(y,z)=1.
[c,a]=2000--->a=2000/(2x),c=2000/z, (2x,z)=1--->(x,z)=1.

所以问题转化为有多少正整数的有序数(x,y,z)，使两两互质，z为奇数，而且x,y为1000，z为2000的因素。z为奇数，所以z只可能取1,5,25,125四个数。

因为(x,y)=1.x,y中至少一个为奇数。
如果x=1,z=1,那么y可以是1000的任何一个因素，1000=2^3*5^3共有(3+1)*(3+1)=16个正因素。
如果y=1,z=1,那么x也有16个1000的正因素。
因此如果z=1,而且x=1或者y=1，总共有16+16-1=31种。

如果只是z=1,x,y都不为1，那么只能x取奇数(5，25，125)，y取偶数(2，4，8)，或者x取偶数(2，4，8)，y取奇数(5，25，125)。所以有3*3+3*3=18。

如果z不为1，那么z只能是5，25，125中的一个。如果x为奇数，因为(x,z)=1,x只能为1。y可以为1，2，4，8。因此有4*3=12种。
如果z不为1，而y为奇数，那么也有12种。
所以如果z不为1，总共有12+12-1=23种。

答案为31+18+23=72种。应该有个更简单的方法。