斐波那契数列恒等式
设{Fn}为Fibonaci数列，证明恒等式
2^(n-1)*F(1)+2^(2n-2)*F(2)+…+2*F(n-1)+F(n)+F(n+3)=2^(n+1).

设{Fn}为Fibonaci数列，证明恒等式:
2^(n-1)*F(1)+2^(n-2)*F(2)+…+2*F(n-1)+F(n)+F(n+3)=2^(n+1).

题目有误，己修正。
证明 因为 F(n)=(α^n-β^n)/√5 ，α=(1+√5)/2 ，β=(1-√5)/2。易证:
(α/2)/(1-α/2)=α^3; (β/2)/(1-β/2)=β^3。
于是应用等比数列公式:
F(1)/2+F(2)/2^2+…+F(n-1)/2^(n-1)+F(n)/2^n
=(1/√5)*[(α-β)/2+(α^2-β^2)/2^2+…+(α^n-β^n)/2^n]
=(1/√5)*{(α/2)*[1-(α/2)^n]/[1-(α/2)]-(β/2)*[1-(β/2)^n]/[1-(β/2)]}
=F(3)-F(n+3)/2^n=2-F(n+3)/2^n.
两边同乘以2^n得:
2^(n-1)*F(1)+2^(n-2)*F(2)+…+2*F(n-1)+F(n)+F(n+3)=2^(n+1). 证毕。

关于斐波那契数列还有如下恒等式
3^(n-1)*F(2)+3^(n-2)*F(4)+…+3*F(2n-2)+F(2n)+F(2n+4)=3^(n+1).
3^(n-1)*F(1)+3^(n-2)*F(3)+…+3*F(2n-3)+F(2n-1)+F(2n+3)=2*3^(n+1).